Пусть $X$ --- неособая проективная кривая над полем комплексных чисел. Комплексный анализ учит нас, что на $X$ нет всюду голоморфных функций, кроме констант, а любая мероморфная функция имеет одинаковое количество нулей и полюсов. Соответственно, любая мероморфная функция задается множествами своих нулей и полюсов с точностью до умножения на константу. Однако не любые два набора из одинакового числа точек являются множествами нулей и полюсов какой-то функции, не говоря уже о наборах с разным числом точек.
Чтобы получить взаимнооднозначное соответствие, нужно расширить понятие мероморфной функции. Мероморфная функция на $X$ --- это сечение тривиального линейного расслоения $O$; если мы будем рассматривать сечения любых линейных расслоений, то сможем получить любые пары наборов точек (это верно для неособых кривых).
Понятие пары наборов точек можно формализовать как конечную формальную линейную комбинацию точек $X$ с целыми коэффициентами: положительный коэффициент обозначает кратность нуля, отрицательный --- кратность полюса. Такие линейные комбинации называются дивизорами Вейля (в случае общего $X$ нужно брать формальную линейную комбинацию подмногообразий (комплексной) коразмерности 1). Дивизоры Вейля очевидным образом проецируются в гомологии $X$: в данном случае в нулевые, в общем --- в $n-2$-е (здесь $n$ --- действительная размерность многообразия). Параллельные когомологические объекты называются дивизорами Картье.
Неформально, дивизор Картье можно определить как сечение линейного расслоения на $X$. Формально он задается как совокупность открытого покрытия $X$ и набора функций, по одной на каждом множестве покрытия, таких, что на пересечении любых двух открытых множеств частное двух функций не имеет ни нулей, ни полюсов (с точностью до изоморфизма таких конструкций). Легко видеть, что эти два определения совпадают: частные двух функций на пересечении открытых множеств и есть функции перехода для линейного расслоения.
Пользуясь формальным определением, можно доказать, что любой дивизор Вейля на неособом $X$ является также дивизором Картье (выберем открытое покрытие, каждая из карт которого содержит только одну компоненту дивизора). Значит, сечения линейных расслоений на $X$ находятся во взаимнооднозначном соответствии с дивизорами Вейля (наборами точек с целыми кратностями) на $X$. При этом два сечения одного и того же расслоения отличаются умножением на мероморфную функцию, а у нее одинаковое количество нулей и полюсов; поэтому степень дивизора (сумма всех коэффициентов) не зависит от выбора сечения и является целочисленным инвариантом расслоения.
На самом деле это целое число --- первый класс Черна линейного расслоения как элемент когомологий $H^2(X, Z) = Z$.
Например, если $X=P^1$, то степень расслоения $O(k)$ равна $k$.
