Группы Матье - II

Сегодня мы докажем существование и единственность S(2,3,7), S(2,3,9) и S(2,5,21) и начнём изучать S(5,6,12).

• Плоскости малых порядков

• Проективная плоскость порядка 4

• S(5,6,12) — начало построения

Плоскости малых порядков

Предложение 1.

Существует единственная проективная плоскость порядка 2.

Доказательство

Для доказательства единственности достаточно показать, по следствию 8 из предыдущей лекции, что аффинная плоскость порядка 2 единственна. Действительно, пусть A — аффинная плоскость порядка 2. Каждая прямая A состоит всего из 2 точек. Наоборот, каждая пара точек, по определению аффинной плоскости, принадлежит единственной прямой. Отсюда следует, что прямые A — в точности все пары её точек. Таким образом, A изоморфна следующей системе инцидентности: точки — любые 4 объекта, прямые — все пары точек, инцидентность — отношение принадлежности.

Для доказательства существования проще всего нарисовать картинку:

Надеюсь, что все смогут сами перевести эту картинку в формальное определение и проверить, что перед нами — действительно проективная плоскость порядка 2.

Теорема 2.

Существует единственная аффинная плоскость порядка 3.

Доказательство

Пусть A — аффинная плоскость порядка 3. Попытаемся ввести в A систему координат. Для этого, прежде всего, выберем два направления в A (из четырёх). Назовём их "горизонтальное" и "вертикальное". Далее, пометим все три горизонтальных прямых цифрами 0, 1 и 2. То же самое проделаем с вертикальными прямыми. Пусть x — некоторая точка A. Будем обозначать её в дальнейшем через (v,h), где v и h — цифры, которыми помечены вертикальная и горизонтальная прямые, содержащие x.

Таким образом, мы уже имеем 6 прямых — три горизонтальных и три вертикальных. Всего прямых в A ровно 12 штук (см. предложение 2 предыдущей лекции). Пусть L — какая-нибудь прямая, не являющаяся ни вертикальной, ни горизонтальной. Тогда L пересекает каждую вертикальную прямую ровно в одной точке, т.е., содержит ровно одну точку вида (i,l_i) для каждого i. Ясно, что все l_i различны; в самом деле, если l_i=l_j для различных i и j, то две точки (i,l_i) и (j,l_i) принадлежат как L, так и горизонтальной прямой с номером l_i. Значит, il_i — перестановка множества {0,1,2}. Ясно, что L есть в точности множество точек (i,l_i) для различных i — то есть, разным прямым соответствуют разные перестановки. Но прямых, не являющихся ни вертикальными, ни горизонтальными, ровно 6 — и столько же перестановок множества {0,1,2}. Значит, каждая перестановка соответствует какой-то прямой.

Следовательно, A изоморфна следующей системе инцидентности: её точками являются пары (i,j), где i и j — цифры от 0 до 2, а её прямые — это а) вертикальные прямые, состоящие из всех точек вида (i,j) с фиксированным i, б) горизонтальные прямые, состоящие из всех точек вида (i,j) с фиксированным j, в) прочие прямые, состоящие из всех точек вида (i,l_i), где il_i — перестановка множества {0,1,2}.

Обратно, легко показать, что построенная абзацем выше система инцидентности — действительно аффинная плоскость порядка 3.

Если система координат введена, то мы будем обозначать через (*--), (-*-) и (--*) вертикальные прямые, помеченные цифрами 0, 1 и 2 соответственно. Горизонтальную прямую, помеченную цифрой i, мы обозначим через (iii). Прямую, соответствующую перестановке il_i, мы обозначим через (l₀l₁l₂). Таким образом, точка (i,j) инцидентна прямой (a₀a₁a₂) тогда и только тогда, когда a_i=j или a_i=*.

Проективная плоскость порядка 4

Попытавшись подобным же образом доказать единственность плоскости порядка 4, мы столкнёмся с тем, что перестановок множества из четырёх элементов оказывается 24, а прямых (кроме вертикальных и горизонтальных) — всего 12. Это наводит на мысль, что в случае порядка 4 следует брать, например, только чётные перестановки. Это действительно так, и доказать это несложно, но мы воспользуемся иной конструкцией. Автор её мне неизвестен, придумал я её самостоятельно и только потом увидел (в частности, у flaass (здесь)), что не я один такой умный.

Предложение 3.

Пусть P — проективная плоскость порядка 4. Выберем в P три точки, не лежащих на одной прямой — , и (я буду в дальнейшем называть их "греческими точками"). Пусть A — симметрическая разность трёх прямых: , и (то есть, A состоит из всех точек, принадлежащих ровно одной или ровно трём из этих прямых). Тогда A — аффинная подплоскость порядка 3.

Доказательство

Действительно, так как три указанные прямые не имеют общей точки (прямые и пересекаются только в точке , а прямая через неё не проходит), их симметрическая разность состоит из всех точек, принадлежащих какой-нибудь одной из этих прямых, кроме самих греческих точек. На каждой из трёх прямых лежат 5 точек, и две из них — греческие. Таким образом, A содержит ровно 3(5-2)=9 точек. Остаётся показать, что каждая прямая, принадлежащая A, содержит ровно три точки A.

Пусть L — прямая, принадлежащая A. По определению 6 из предыдущей лекции, L содержит две точки x и y, принадлежащие A. Если x и y лежат на одной из прямых , и — например, на — то прямая L совпадает с и, следовательно, все её точки, кроме двух греческих, принадлежат A — то есть, пересечение L и A состоит из трёх точек. Если же x и y лежат на разных прямых — скажем, x и y, то ни одна греческая точка не лежит на L (иначе, если, например, L, то точки x и принадлежат как L, так и , откуда L= и y) и, следовательно, точка пересечения L с прямой принадлежит A. Очевидно также, что любая точка пересечения L с A обязана лежать либо на (тогда это точка x), либо на (тогда это y), либо на . Таким образом, пересечение L с A снова состоит из трёх точек.

Идеология дальнейших действий — попытаться описать точки и прямые P в терминах подплоскости A.

Предложение 4.

Пусть P — проективная плоскость порядка 4. Тогда

1. Через любую точку P\A проходят ровно две прямых, принадлежащих A, причём эти прямые параллельны в A.

2. Любая прямая, не принадлежащая A, содержит ровно одну точку A; наоборот, через любую точку A проходит ровно одна прямая, не принадлежащая A.

Доказательство

1. Пусть x — произвольная точка, не принадлежащая A. Если x=, то прямые и принадлежат A и проходят через ; прочие же прямые, проходящие через , пересекают и лишь в точке , не лежащей в A, а прямую — только в одной точке; поэтому, они содержат только одну точку A и, следовательно, не принадлежат A. То же самое происходит, если x= или x=.

   С другой стороны, если x — не греческая точка, то она не лежит на прямых , и — так как в противном случае она принадлежала бы A. Следовательно, прямые x, x и x различны; каждая из них не принадлежит A (по тем же причинам, что и выше; например, x пересекает A лишь в одной точке, лежащей на ). Кроме них через точку x проходят ещё две прямых (поскольку всего в P через каждую точку проходят пять прямых). Они пересекают каждую из прямых , и в точках, принадлежащих A, а потому содержат три точки из A; следовательно, они принадлежат A.

   Таким образом, через каждую точку вне A проходят ровно две прямых, принадлежащих A; так как единственная точка в пересечении этих прямых — то есть, точка x — не лежит в A, эти прямые в A не пересекаются, то есть параллельны.

2. Пусть L — прямая, не принадлежащая A. Если она содержит две греческих точки — например, и — то совпадает с прямой , которая принадлежит A. Следовательно, L может содержать не более одной греческой точки. Допустим, что L не содержит ни , ни . Тогда точка пересечения L с прямой принадлежит A. Значит, L содержит хотя бы одну точку из A; если бы она содержала две таких точки, то принадлежала бы A — что неверно.

   

   Наоборот, если x — произвольная точка A, то через неё проходят пять прямых P и четыре из них принадлежат A (так как A — плоскость порядка 3). Следовательно, ровно одна прямая, проходящая через x, не принадлежит A.

Введём обозначение: прямую, не принадлежащую A и пересекающую A в точке x, будем обозначать через [x]. Если L — прямая A, то обозначим через [L] точку P, являющуюся точкой пересечения двух прямых, параллельных L в A и не совпадающих с ней. Теперь мы видим, что каждая точка P либо принадлежит A, либо имеет вид [L], где L — прямая A; наоборот, каждая прямая P либо принадлежит A, либо имеет вид [x], где xA.

Теорема 5.

Существует единственная проективная плоскость порядка 4.

Доказательство

Как обычно, начнём с единственности. Пусть P — проективная плоскость порядка 4. Выберем в P три греческих точки и определим аффинную подплоскость A как в предложении 3. Мы уже знаем, что A есть аффинная плоскость порядка 3, и потому не зависит от P.

Если x и y — точки A, то прямая [x] содержит точку y в том и только в том случае, когда x=y; в самом деле, пересечение [x] и A состоит из одной лишь точки x.

Пусть x — точка A, а L — прямая A. Тогда точка [L] принадлежит прямой [x] если и только если L содержит x. Действительно, пусть L₁ и L₂ — прямые, параллельные L в A и не совпадающие с ней. Тогда [L] — точка пересечения L₁ и L₂ в P. Заметим, что точки [L₁] и [L₂] обе лежат на прямой L и не совпадают (в противном случае, через такую точку проходили бы три прямых, принадлежащих A — L₁, L₂ и L. Значит, прямая [x] не может содержать обе точки [L₁] или [L₂] — в противном случае она совпадала бы с L и принадлежала бы A, что неверно. Кроме того, L₁ содержит ровно две точки, не лежащие в A — это точки [L] и [L₂]. Поэтому либо [x] содержит [L], либо пересекает L₁ или L₂ в точке, лежащей в A. Так как единственная точка [x], лежащая в A — это сама x, последнее эквивалентно тому, что L₁ или L₂ содержит x. Но x принадлежит ровно одной из трёх прямых — L, L₁ или L₂, так как в любом направлении в A есть только одна прямая, содержащая точку x.

Пусть L — произвольная прямая в A. Через точку [L] проходят ровно пять прямых P. Две из них — это прямые A, параллельные L и не совпадающие с ней (по определению [L]). Ещё три, согласно предыдущему абзацу, имеют вид [x], где x — точка L, лежащая в A. Значит, других прямых через [L] нет. Следовательно, точка [L] принадлежит прямой L' из A тогда и только тогда, когда прямые L и L' параллельны и не совпадают.

Таким образом, мы построили — не заметив — изоморфизм между P и системой инцидентности, точки которой имеют вид x и [L], а прямые — [x] и L, где x — произвольная точка A, а L — прямая A; инцидентность в этой системе описана в трёх предыдущих абзацах. Значит, проективная плоскость порядка 4 единственна.

Наоборот, несложно показать, что так описанная система инцидентности является проективной плоскостью порядка 4. В самом деле, в ней 9+12=21 точек, каждая прямая вида [x] содержит точку x и четыре точки вида [L], где L — прямая A, содержащая x; каждая прямая вида L содержит три точки A и две точки вида [L'], где L' — прямая, параллельная L в A и не равная ей; наконец, любые две точки a и b принадлежат одной прямой.

В самом деле, если a и b принадлежат A, то эта прямая — прямая A, через них проходящая. Если aA и b=[L], где L — прямая A, содержащая a, то эта прямая — [a]. Если a не принадлежит L, то, согласно пятому постулату, существует единственная прямая L', не совпадающая с L и параллельная ей, содержащая a; она также содержит [L]. Если a=[L] и b=[L'], причём прямые L и L' не параллельны, то прямая [x] содержит и [L] и [L'], если x — точка пересечения L и L'. Наконец, если L и L' параллельны и не совпадают, то существует ещё одна прямая L'' в том же направлении; она содежит как [L], так и [L'].

Вот здесь можно скачать рисунок, изображающий проективную плоскость порядка 4; на этом рисунке, распечатав, удобно расставлять фишки, помечая таким образом какие-либо подмножества проективной плоскости. Это порой очень помогает в рассуждениях.

S(5,6,12) — начало построения

В этом разделе мы будем считать, что зафиксирована некоторая система Штейнера S=S(5,6,12) и попытаемся понять, что же представляют собой её блоки. Мы также зафиксируем три различных точки S (произвольно выбранные), которые обозначим римскими цифрами I, II и III. Эти точки, аналогично предыдущему разделу, будем называть "римскими".

Пусть A — система инцидентности, точки которой — это точки S, кроме римских, а блоки — это блоки S, содержащие все три римских точки.

Предложение 6.

A является аффинной плоскостью порядка 3.

Доказательство

Действительно, A содержит 12-3=9 точек. Каждый блок в ней содержит 6-3=3 точки. Наконец, если x и y — различные точки A, то 5-точечное множество {x,y,I,II,III} содержится в единственном блоке B; очевидно, что этот блок — единственный блок A, содержащий x и y.

Как и в случае с проективной плоскостью порядка 4, мы попытаемся описать блоки S в терминах аффинной плоскости A. Это позволит нам, во-первых, утверждать, что система Штейнера S(5,6,12) единственна, а во-вторых получить ключ к её построению.

Нам понадобятся следующие утверждения:

Лемма 7.

Любое 5-точечное подмножество A содержит хотя бы одну прямую.

Доказательство

Пусть x, y, u, v и w — пять различных точек A. Обозначим через z единственную точку прямой xy, отличную от x и y. Если z совпадает с одной из точек u, v или w, то прямая {x,y,z} целиком содержится в нашем множестве. Если u, v и w лежат на одной прямой — эта прямая тем более содержится в нашем множестве. Предположим, что оба этих предположения неверны.

В этом случае, прямые uv, uw и vw различны и попарно пересекаются, причём в точках, отличных от z. Так как они попарно не параллельны, не более чем одна из них параллельна прямой xy. Кроме того, не более чем одна из них содержит z. Следовательно, хотя бы одна из них — допустим, uv — не параллельна xy и не содержит z. Следовательно, она пересекает xy либо в x, либо в y. Значит, она совпадает либо с множеством {u,v,x}, либо с множеством {u,v,y}. Таким образом, она целиком содержится в нашем множестве.

Лемма 8.

Любое 7-точечное подмножество S содержит ровно один блок.

Доказательство

Пусть C — 7-точечное подмножество S; докажем вначале, что оно содержит хотя бы один блок. Выберем произвольно точку zC и пусть B=C\z. Тогда B содержит ровно 6 точек. Если B — блок, то мы, тем самым, нашли блок, содержащийся в C. Предположим, что B — не блок.

Если x — некоторая точка B, то 5-точечное множество B\x содержится в единственном блоке, который, очевидно, получается добавлением к B\x некоторой точки, ему не принадлежащей. Обозначим эту точку через f(x). Так как B — не блок, f(x) отлично от x. Значит, f — отображение из B в S\B.

Допустим, что x и y — различные точки B, но f(x)=f(y). Тогда 5-точечное множество (B\{x,y})f(x) содержится в блоке (B\x)f(x) и в блоке (B\y)f(y) — что, по определению системы Штейнера, невозможно. Значит, f — инъекция из B в S\B. Но как B, так и его дополнение содержат по 6 точек. Значит, f — биекция. Поэтому существует такая точка xB, что f(x)=z. Тогда блок (B\x)f(x) содержится в C.

Наконец, если C содержит два блока B₁ и B₂, то их пересечение содержит хотя бы 5 точек и, по определению системы Штейнера, эти блоки должны совпадать.

Определение 1.

Пусть X — некоторая плоскость (иначе говоря, система Штейнера вида S(2,k,n)). Квадратом в X мы будем называть любое 4-точечное подмножество X, никакие три точки которого не лежат на одной прямой.

В литературе также встречается термин "четырёхугольник", однако слово "квадрат" короче.

Определение 2.

Крестом в аффинной плоскости порядка 3 мы будем называть объединение двух пересекающихся (но не совпадающих) прямых.

Теорема 9.

Пусть B — блок S. Тогда

1. Если B содержит все три точки I, II и III, то пересечение BA — прямая в A; наоборот, любая прямая A содержится в единственном блоке, содержащем также три римских точки.

2. Если B содержит две римских точки, то пересечение BA — квадрат в A; наоборот, любой квадрат в A содержится в единственном блоке, содержащем также две римских точки.

3. Если B содержит одну римскую точку, то пересечение BA — крест в A; наоборот, любой крест в A содержится в единственном блоке, содержащем также одну римскую точку.

4. Если B вообще не содержит римских точек, то B есть объединение двух параллельных прямых в A.

Доказательство

1. Первый пункт теоремы автоматически следует из конструкции A.

2. Пусть блок B содержит точки I и II, но не содержит точку III. Тогда BA — 4-точечное подмножество A. Предположим, что три точки x, y и z из этого подмножества лежат на одной прямой L. Тогда L={x,y,z} и 5-точечное множество {x,y,z,I,II} содержится в двух разных блоках: B и L{I,II,III} (см. предыдущий пункт теоремы) — что, опять же, невозможно. Значит, BA — квадрат.

   Обратно, пусть K — квадрат в A. По предыдущей лемме, 7-точечное множество K{I,II,III} содержит ровно один блок B. Если B содержит все три римских точки, то BA — прямая, содержащаяся в K — что противоречит определению квадрата. Следовательно, B не содержит одну из римских точек — например, III. Тогда B=K{I,II} — единственный блок, содержащий K и две римских точки.

3. Пусть B содержит точку I, но не содержит II и III. Тогда множество BA состоит из пяти точек и, следовательно, содержит некоторую прямую L={u,v,w}. Две точки BA, не принадлежащие L, обозначим через x и y.

   Предположим, что прямая xy параллельна L. Тогда 4-точечное множество {x,y,u,v} является квадратом; в самом деле, любое его трёхточечное подмножество либо содержит u и v — но тогда третья точка (то есть x или y) не лежит на прямой uv=L, либо содержит x и y — и, опять же, ни u, ни v не лежит на прямой xy. Следовательно, по предыдущему пункту, можно добавить к этому множеству две римских точки так, чтобы получить некоторый блок B'. Но 5-точечное множество {x,y,u,v,I} содержится в блоке B и, следовательно, не содержится в B'. Значит, B' не содержит точку I. Следовательно, B'={x,y,u,v,II,III}. Аналогичным образом получаем, что {x,y,u,w,II,III} — тоже блок. Но эти два блока пересекаются по пяти точкам x, y, u, II и III — что невозможно.

   

   Следовательно, прямая xy пересекает L — например, в точке u. Тогда BA есть объединение двух прямых {u,v,w} и {x,y,u} — то есть, крест.

   Обратно, пусть K=L₁L₂ — некоторый крест в A (здесь L₁ и L₂ — прямые, пересекающиеся в точке x). Очевидно, что K содержится ровно в одном блоке (так как |K|=5). По предыдущей лемме, множество K{I,II} содержит некоторый блок B. Если B содержит лишь одну римскую точку, то более доказывать нечего. Допустим, что B содержит обе точки I и II, то BA — некоторый квадрат, содержащийся в K. Этот квадрат не может содержать прямую L₁ целиком — и, следовательно, не содержит одну из её точек. Аналогично, он не содержит одну из точек L₂. Но, очевидно, он должен содержать все точки K, кроме одной. Следовательно, этот квадрат имеет вид K\x и B=(K\x){I,II}. Повторяя то же построение для множества K{II,III}, мы либо найдём блок, содержащий K и ещё одну римскую точку, либо покажем, что (K\x){II,III} — блок. Но этот блок пересекает B по пяти точкам — четыре точки K\x и точка II — чего не может быть.

4. Наконец, пусть B — блок, целиком содержащийся в A. Так как B содержит целых шесть точек, мы видим, что B содержит некоторую прямую L. Три точки B, не входящие в L, обозначим через x, y и z. Допустим, что прямая xy не параллельна L. Тогда третья точка на прямой xy также принадлежит B и, следовательно, B содержит крест L{x,y}. Но этот крест также содержится в некотором блоке, содержащем одну римскую точку — см. предыдущий пункт. Это невозможно, так как крест — 5-точечное множество. Следовательно, прямая xy параллельна L. Таким же образом получаем, что yz параллельна L. Согласно пятому постулату, прямые xy и yz совпадают; следовательно, {x,y,z} — прямая, параллельная L и B является объединением двух параллельных прямых A.

   

   Обратно, пусть L₁ и L₂ — различные параллельные прямые в A. Пусть x — произвольная точка L₂. Тогда 5-точечное множество L₁L₂\x не является крестом, но должно содержаться в некотором блоке B. Блок B, следовательно, не может содержать римских точек и, значит, является объединением двух параллельных прямых. Теперь очевидно, что единственная точка, которую можно добавить к L₁L₂\x, чтобы получить две параллельных прямых — это точка x. Значит, L₁L₂ — блок.

Теперь мы почти описали блоки S. Осталось только понять, какие римские точки — I, II или III — нужно добавлять к квадратам и крестам A так, чтобы получить блоки S. Этим мы, в силу недостатка времени на этой лекции, займёмся в следующий раз.

Оглавление курса