Группы Матье - VI: virtual_ium

Сегодня мы определим большие группы Матье и начнём изучать их структуру; в частности, мы докажем их высокую транзитивность.

Большие группы Матье
Отражения
Класс сопряжённости отражений

Большие группы Матье

На прошлой лекции мы построили систему Штейнера S(5,8,24) и доказали её единственность. Мы будем обозначать её через S. Всюду в дальнейшем мы обозначаем через P проективную плоскость порядка 4, получающуюся из S удалением трёх римских точек I, II и III.

Определение 1.

Пусть i обозначает 0, 1, 2 или 3. Группой Матье M_24-i называется централизатор любого i-элементного подмножества S в группе автоморфизмов S.

В частности, группа M₂₄ — это сама группа автоморфизмов S. Наша цель — доказать высокую транзитивность и простоту этих групп.

Группа M₂₁ более известна под другим именем — PSL₃(4). Если останется время, я покажу некий набросок доказательства — для тех, кто знает, что такое конечное поле.

Заметим, что пока мы не можем утверждать, что группы Матье определены корректно — мы должны ещё продемонстрировать, что они не зависят от того, какое i-элементное множество мы выберем — что почти очевидно.

Определение 2.

Секстетом в S называется разбиение точек S на шесть 4-точечных подмножеств, такое, что объединение любых двух из этих подмножеств является блоком.

Предложение 1.

Пусть K — некоторое 4-элементное подмножество S. Тогда существует ровно пять 4-элементных подмножеств K₁, K₂, ..., K₅, таких, что объединение K $\cup$ K_i является блоком в S. При этом набор {K,K₁,K₂,...,K₅} является секстетом.

Доказательство

Выберем три точки K в качестве римских, и обозначим четвёртую точку через x: K={I,II,III,x}. Объединение K $\cup$ K_i является блоком тогда и только тогда, когда K_i $\cup$ x — прямая в плоскости P=S\{I,II,III}. Иначе говоря, K_i=L_i\x, где L_i — прямая, проходящая через x. Но мы знаем, что таких прямых ровно пять, причём через любую точку, кроме x, проходит ровно одна из них. Следовательно, множества K_i образуют разбиение S\K. Более того, объединение K_i $\cup$ K_j есть в точности (L_i $\cup$ L_j)\x=L_i $\bigtriangleup$ L_j. Но симметрическая разность двух прямых является блоком. Следовательно, объединение любых двух из множеств K, K₁, ..., K₅ является блоком, и эти множества образуют секстет.

$\qedsymbol$

Отражения

Предложение 2.

Пусть F — система Фано в плоскости P. Существуют две системы Фано F₁ и F₂, вместе с F образующие разбиение P, и автоморфизм f из P в себя, который оставляет на месте каждую точку F и меняет местами F₁ и F₂.

Доказательство

Вспомним, как строилось такое же разбиение в предложении 6 предыдущей лекции. Там мы показали, что в P можно так выбрать аффинную подплоскость A порядка 3, чтобы F₁, F и F₂ состояли из точек A и точек, соответствующих прямым A, которые отмечены на рисунке:

Теперь видно, что отражение относительно средней горизонтальной прямой на этом рисунке является автоморфизмом A, который переводит элементы F₁ в элементы F₂, а каждый элемент F оставляет на месте.

$\qedsymbol$

Предложение 3.

Пусть L — прямая в плоскости P (как и раньше, проективной плоскости порядка 4), а x и y — две (различных) точки P, не лежащих в L. Автоморфизм P, централизующий множество L $\cup$ {x,y}, обязательно является тождественным.

Доказательство

Действительно, пусть f — автоморфизм P, централизующий это множество. Рассмотрим любую точку z, не лежащую на прямой xy. В таком случае, прямые xz и yz различны. Первая из них пересекает L в некоторой точке x', а вторая — в точке y'. По условию, f сохраняет точки x, y, x' и y'. Отсюда f(xx')=xx' и f(yy')=yy'. Так как z — единственная точка пересечения xx' и yy', имеем f(z)=z.

Таким образом, f сохраняет любую точку, не лежащую на прямой xy. Поскольку на любой прямой, кроме xy, найдутся две точки, не лежащие на xy, f сохраняет все прямые. Следовательно, f сохраняет все точки, так как любая точка может быть задана как пересечение двух прямых.

$\qedsymbol$

Определение 3.

Отражением в S=S(5,8,24) называется любой нетривиальный элемент группы M₂₄ (т.е., группы автоморфизмов S), централизующий какой-либо блок S.

Заметим, что мы не требуем в определении, чтобы отражение обязательно имело порядок 2. Чуть позже мы увидим, что это получается автоматически.

Предложение 4.

Пусть B — блок в S. Централизатор B в группе M₂₄ действует на S\B строго транзитивно.

Доказательство

Действительно, пусть x и y — две точки S, не лежащие в блоке B. Если x=y, то единичный элемент M₂₄ переводит x в y, и, очевидно, централизует B. В противном случае, выберем в качестве римских точки x=I, y=II и произвольную точку III $\in$ B. Тогда F=B $\cap$ P — система Фано в P, относящаяся к типу III (по определению типа системы Фано). Пусть F₁ и F₂ — системы Фано, дополнительные к F, и пусть f — автоморфизм P, построенный в предложении 2. Тогда f оставляет на месте каждую точку F, а также точку III. Далее, согласно теореме 4 предыдущей лекции, системы Фано F₁ и F₂ должны относиться к типам I и II (хотя мы и не можем сейчас сказать, какая из них к какому из этих типов относится). Далее, f переставляет F₁ и F₂, а потому переставляет точки I и II. Следовательно, f — автоморфизм S, переставляющий x и y и централизующий B.

Пусть теперь f — нетривиальный автоморфизм, сохраняющий некоторую точку x, не лежащую в B, и централизующий B. Выберем в качестве римских три произвольных точки из B. Тогда f становится автоморфизмом P, сохраняющим типы (они же классы квадратов). Пусть u, v и w — три точки прямой L=B\{I,II,III}. Согласно предложению 8 предыдущей лекции, существует ровно одна система Фано F, имеющая тип I и содержащая точки x, u, v и w. Поскольку f сохраняет типы, f также должно сохранять F. Прямая xu пересекает F в трёх точках x, u и в какой-то третьей точке y. Поскольку x, u и F сохраняются под действием f, имеем также f(y)=y. Теперь f — автоморфизм плоскости P, централизующий множество L $\cup$ {x,y}. По предложению 3, f — тождественный автоморфизм.

$\qedsymbol$

Таким образом, отражений относительно данного блока столько же, сколько точек вне его, отличных от некоторой заданной точки, а именно 24-8-1=15.

Следствие 5.

Группа Матье M_24-i действует на 24-i точках 5-i-транзитивно.

Доказательство

По предложению 1 лекции 1, достаточно показать, что централизатор любых 4-i точек в M_24-i действует на остальных 20 точках 1-транзитивно. Но этот централизатор, по определению больших групп Матье, есть не что иное, как централизатор 4 точек в группе M₂₄. Пусть теперь K — произвольное 4-точечное подмножество S, а x и y — произвольные точки, не лежащие в K. Нам нужно построить автоморфизм S, централизующий K и переводящий x в y. Рассмотрим секстет {K,K₁,...,K₅}, содержащий K. Поскольку можно перенумеровать множества K_i произвольно, сделаем это так, чтобы K₁ содержало x, а K₂ содержало y в случае, если оно не принадлежит K₁. Рассмотрим теперь блок B=K $\cup$ K₃. Этот блок не содержит x и y. Следовательно, по предыдущему предложению, существует автоморфизм S, централизующий B (и, следовательно, содержащееся в нём K), и переводящий x в y.

$\qedsymbol$

Заметим, что это следствие, в частности, гарантирует нам корректность определения 1. Действительно, согласно этому следствию, группа M₂₄ является транзитивной на 24 точках; согласно лемме 10 лекции 3, стабилизаторы всех точек сопряжены (и, стало быть, изоморфны); следовательно, группа M₂₃ определена однозначно. Далее, эта группа также транзитивна (на 23 точках), а M₂₂ является стабилизатором одной точки в ней; следовательно, M₂₂ также определена однозначно. Аналогично получается корректность определения M₂₁.

Предложение 6.

Любое отражение S имеет порядок 2.

Доказательство

Действительно, пусть r — отражение относительно некоторого блока B. Выберем, опять же, три произвольных точки B в качестве римских. Тогда r — нетривиальный автоморфизм плоскости P, сохраняющий типы и централизующий прямую L=B\{I,II,III}. Пусть t — такая точка, что r(t) отлично от t. Обозначим через x точку пересечения L и прямой, проходящей через t и r(t). Пусть y и z — произвольные точки L, отличные от x. Тогда множество {t,r(t),y,z} представляет собой квадрат. Достроим его до системы Фано F; она, очевидно, должна содержать точку x. Рассмотрим систему Фано r(F). Она содержит точки r(t), x, y и z и имеет тот же тип, что и F. По предложению 8 предыдущей лекции, такая система Фано единственна и совпадает с F. Таким образом, r(F)=F, откуда следует, что r(r(t)) принадлежит F. Далее, прямая tx сохраняется под действием r (так как точка r(t) лежит на ней). Следовательно, r(r(t)) лежит на прямой tx и, одновременно, в системе Фано F. Так как r(t) отлично от t, r(r(t)) отлично от r(t). Очевидно также, что r(r(t)) отлично от x. Таким образом, остаётся лишь одна возможность: r(r(t))=t.

Теперь рассмотрим отображение r². Оно, как мы выяснили, сохраняет t. Очевидно также, что оно сохраняет r(t). Кроме того, оно централизует прямую L. Следовательно, по предложению 4, r²=e. Таким образом, r имеет порядок 2.

$\qedsymbol$

Следствие 7.

Централизатор любого блока S в группе M₂₄ коммутативен.

Доказательство

Действительно, любой элемент этого централизатора либо тождественен, либо является отражением. Следовательно, для любого элемента r из этого централизатора r²=e, где e — единица группы M₂₄. Пусть теперь r и s — элементы этого централизатора. Так как (rs)²=e, имеем rs=r(rs)²s=rrsrss=r²srs²=sr, то есть, элементы r и s коммутируют.

$\qedsymbol$

В дальнейшем нам понадобится несколько похожих, но не совпадающих характеризаций отражений.

Следствие 8.

Пусть снова L — прямая в плоскости P и пусть f — автоморфизм P, централизующий прямую L и имеющий порядок 2. Тогда продолжение f до автоморфизма S является отражением относительно L $\cup$ {I,II,III}.

Доказательство

Действительно, пусть x — такая точка P, что f(x) отлично от x. Рассмотрим отражение r относительно L $\cup$ {I,II,III}, которое переводит x в f(x). По предложению 6, оно также переводит f(x) в x=f²(x). Следовательно, отображение rf=r^-1f сохраняет точки x и f(x), а также централизует прямую L. По предложению 3, оно является тождественным автоморфизмом. Отсюда f=r является отражением.

$\qedsymbol$

Предложение 9.

Пусть r — отражение S относительно некоторого блока B, содержащего три римских точки I, II и III. Тогда существует точка x $\in$ B, для которой выполнено следующее условие: прямая L в плоскости S\{I,II,III} сохраняется под действием r тогда и только тогда, когда x $\in$ L.

Доказательство

Пусть L₀=B\{I,II,III} — прямая в P. Рассмотрим точку u $\in$ P, не лежащую на этой прямой. Пусть L₁ — прямая, проходящая через u и r(u), а x — точка пересечения L₀ и L₁. Ясно, что r сохраняет прямые L₀ и L₁ (так как сохраняет точки x и переводит u в r(u)).

Пусть L — некоторая прямая, проходящая через x и отличная от L₀ и L₁. Выберем на L произвольную точку v, отличную от x. Пусть y — точка пересечения L₀ с прямой, проведённой через v и u, а z — точка пересечения L₀ с прямой, проведённой через v и r(u). Тогда множество {u,r(u),y,z} является квадратом. Пусть F — система Фано, содержащая этот квадрат. Тогда F содержит точки x (точку пересечения L₀ и L₁) и v (точку пересечения прямой uy и прямой, проведённой через r(u) и z). Поскольку отображение r сохраняет указанный квадрат, оно также сохраняет систему F. Через x проходят ровно три прямых, принадлежащих F: это прямые L₀, L₁ и L. Поскольку первые две из них переходят в себя при отображении r, третья также должна переходить в себя: r(L)=L.

Предположим теперь, что прямая L не содержит точку x. Пусть v — точка пересечения L и L₁. Тогда v — точка L₁, отличная от x, и, следовательно, не принадлежит прямой L₀. Отсюда следует, что r(v) — точка L₁, отличная от v (в силу строгой транзитивности централизатора B на S\B). Значит, r(v) не принадлежит L. Следовательно, r(L) — прямая, отличная от L.

$\qedsymbol$

Следствие 10.

Пусть f — автоморфизм плоскости P. Допустим, что f имеет порядок 2, и существует такая точка x, что f сохраняет все прямые, проходящие через x. Тогда продолжение f до автоморфизма S является отражением относительно некоторого блока, содержащего точки I, II и III.

Доказательство

Рассмотрим систему инцидентности P', двойственную к P, а именно: её точки — это прямые P, её блоки — это точки P, а инцидентность между ними, по существу, та же самая: блок x инцидентен точке L $\in$ P' тогда и только тогда, когда точка x $\in$ P принадлежит прямой L. Тогда, по предложению 2 лекции 1, P' содержит 21 точку, а каждый блок P' инцидентен 5 из этих точек. Кроме того, по теореме 3 той же лекции, любые две прямых P пересекаются ровно в одной точке; следовательно, любые две точки P' инцидентны ровно одному блоку. Таким образом, P' является проективной плоскостью порядка 4.

Очевидно, что f является также автоморфизмом плоскости P'. Пусть S' — система Штейнера S(5,8,24), в которую вкладывается плоскость P'. Тогда f, по предположению, является автоморфизмом P' порядка 2, централизующим прямую x. По следствию 8, f продолжается до отражения S'. По предыдущему предложению, найдётся точка L $\in$ P', инцидентная прямой x, такая, что f сохраняет все прямые, инцидентные L. Но тогда L является прямой P, и f сохраняет все точки на L. Отсюда f — автоморфизм P, централизующий прямую и имеющий порядок 2. Снова по следствию 8, f является отражением.

$\qedsymbol$

Класс сопряжённости отражений

Мы будем действовать далее в предположении, что в системе S выбраны каким-то образом i полюсов, где i обозначает, как и раньше, 0, 1, 2 или 3. Через G мы будем обозначать централизатор множества полюсов в группе M₂₄ — то есть, одну из групп Матье. Наша цель — показать, что группа G проста.

Мы будем действовать согласно плану, изложенному в лекции 4. Для начала, нам нужно выбрать некий класс сопряжённости в G. Легко догадаться, что в качестве такого класса мы возьмём класс всех отражений. Очевидно, что любой элемент, сопряжённый с отражением, является отражением.

Предложение 11.

Все отражения, содержащиеся в G, сопряжены в G.

Доказательство

Пусть r и r' — отражения относительно некоторых блоков B и B', каждый из которых содержит все полюса. Пусть C и C' — некоторые 5-точечные подмножества B и B', также содержащие все полюса (так как полюсов не более трёх, такие подмножества найдутся). В силу 5-транзитивности группы M₂₄, существует автоморфизм g, который переводит C в C'; более того, его можно выбрать так, чтобы каждый полюс (принадлежащий как C, так и C') переводился этим автоморфизмом в себя. Тогда g лежит в группе G (так как централизует множество полюсов). Кроме того, g(B) — блок, содержащий C'; следовательно, по определению системы Штейнера, g(B)=B'. Далее, g^-1r'g является отражением относительно B: в самом деле, если x $\in$ B, то g(x) $\in$ B', откуда r'g(x)=g(x) и g^-1r'g(x)=x. Достаточно теперь доказать, что отражения [-r-] и g^-1r'g сопряжены; таким образом, можно считать, что B'=B.

Выберем теперь три римских точки в блоке B таким образом, чтобы все полюса стали римскими точками. Пусть L=B\{I,II,III} — прямая в P. По предложению 9, существует точка x (соответственно, x') на прямой L, такая, что r (соответственно, r') сохраняет каждую прямую, проходящую через x (соответственно, через x').

Допустим, что x и x' — разные точки. Пусть y — произвольная точка, не лежащая на L. Тогда точка r(y) лежит на прямой xy, а точка r'(y) — на прямой x'y, причём ни одна из них не совпадает с y. Пусть z — точка пересечения L с прямой, проведённой через r(y) и r'(y), а M — прямая, проведённая через y и z. Рассмотрим отражение s относительно блока M $\cup$ {I,II,III}, переводящее точку r(y) в точку r'(y). Заметим, что s сохраняет каждый полюс, а потому принадлежит G.

Так как s меняет местам точки r(y) и r'(y), оно должно сохранять прямую, через них проведённую. Поскольку s также сохраняет прямую M, оно должно сохранять точку пересечения этих прямых — то есть, точку z. По предложению 9, s сохраняет каждую прямую, проходящую через z. Значит, s(L)=L. Теперь s^-1r's — отражение относительно блока s(B)=B, которое перводит точку y в точку s^-1r'sy=s^-1r'(y)=r(y). В силу строгой транзитивности, это отражение совпадает с r. Значит, r и r' сопряжены в G.

Если же x и x' совпадают, несложно найти отражение r'' относительно того же блока B, сохраняющее некоторую прямую, не проходящую через x. Тогда оно сохраняет все прямые, проходящие через некоторую точку x'' $\in$ L, и, по доказанному выше, сопряжено как с r, так и с r'. Значит, r и r' сопряжены в G.

$\qedsymbol$

Таким образом, отражения действительно образуют класс сопряжённости.

Теорема 12.

Группа G порождена содержащимися в ней отражениями.

Доказательство

По лемме 2 лекции 4, достаточно показать, что любой элемент стабилизатора 4-i точек (где i — число полюсов) в группе G является произведением отражений, принадлежащих G. Пусть f — такой элемент. Тогда он стабилизирует 4 точки в S (так как он стабилизирует 4-i точки, на которых действует G, и ещё i полюсов). Обозначим множество, состоящее из этих четырёх точек, через K.

Рассмотрим секстет {K,K₁,...,K₅}. Пусть y — произвольная точка из K₁. Допустим, что f(y) отлично от y. Если f(y) не лежит в K₁, то можно так перенумеровать множества K₂, K₃, K₄ и K₅, чтобы f(y) лежало в K₂. Рассмотрим теперь отражение r относительно блока K $\cup$ K₃, которое переводит y в f(y). Оно принадлежит G, так как оставляет на месте все полюса (лежащие в K). Далее, r^-1f — элемент G, централизующий K и оставляющий на месте точку y. Поэтому, можно считать, что f(y)=y.

Выберем теперь три римских точки таким образом, чтобы все полюса оказались среди них, и все они оказались бы элементами K. Четвёртую точку K обозначим через x. Тогда f становится автоморфизмом P, сохраняющим типы и оставляющим на месте точки x и y. Следовательно, f сохраняет прямую xy. Пусть u, v и w — три точки прямой xy, отличные от x и y.

Допустим, что f(u) не совпадает с u. Можно считать, без ограничения общности, что f(u)=v. Рассмотрим теперь произвольные прямый L_u и L_w, отличные от xy и проходящие, соответственно, через u и w. Пусть s_u (соответственно, s_w) — отражение относительно блока L_u $\cup$ {I,II,III} (соответственно, блока L_w $\cup$ {I,II,III}), переставляющее точки x и y. Эти отражения принадлежат G, так как оставляют на месте каждый полюс (являющийся, напомним, римской точкой). Заметим, что s_w сохраняет прямую xy, переставляет x и y и сохраняет точку w. Оно не может сохранять u и v в силу строгой транзитивности централизатора блока. Значит, оно переставляет их: s_w(u)=v и s_w(v)=u.

Имеем: s_us_wf(x)=s_us_w(x)=s_u(y)=x и, аналогично, s_us_wf(y)=y. Кроме того, s_us_wf(u)=s_us_w(v)=s_u(u)=u. Таким образом, можно считать, что f(u)=u.

Пусть t — произвольная точка, не лежащая на прямой xy. Если f(t) не равно t, то можно найти отражение s относительно прямой xy (точнее, относительно блока xy $\cup$ {I,II,III}), которое переводит f(t) в t. Заменяя f на sf, можно считать, что f стабилизирует точку t.

Рассмотрим теперь систему Фано типа I, содержащую точки x, y, u и t. Такая система Фано существует и единственна в силу предложения 8 предыдущей лекции. Пусть z — ещё одна точка этой системы Фано, лежащая на прямой ut, кроме самих u и t. Так как точки x, y, u, t и тип I сохраняются под действием f, эта система Фано тоже сохраняется, а, стало быть, сохраняется и точка z. Рассмотрим теперь систему Фано F, содержащую квадрат {x,z,t,v}. Эта система Фано должна содержать точку пересечения прямых xv и zt, то есть, точку u. Далее, F и f(F) — две системы Фано одного типа, содержащие точки x, z, t и u. Следовательно, снова по предложению 8 предыдущей лекции, f(F)=F. Так как точки x и u сохраняются под действием f, должна сохраняться также и точка v — как единственная точка, лежащая на прямой xu, принадлежащая системе F и отличная от x и u. Аналогичным образом, f(w)=w.

Теперь f — автоморфизм P, централизующий прямую L и две точки t и z. Следовательно, по предложению 3, f — тождественный автоморфизм.

$\qedsymbol$

На этом мы закончим нашу лекцию. В следующей лекции мы, в частности, завершим доказательство простоты групп M₂₁, ...,M₂₄.

Оглавление курса

Post a new comment
Error
We will log you in after post

We will log you in after post

We will log you in after post

We will log you in after post

We will log you in after post

Anonymously

switch

LiveJournal

Facebook

Twitter

OpenId

Google

MailRu

VKontakte

Anonymously

default userpic

When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.

Preview comment

Help
2 comments

Post a new comment
2 comments

Log in

Группы Матье - VI

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Error